Trajectoire de la balle

 

Afin de déterminer la trajectoire que doit suivre la balle, nous avons choisi d'étudier une courbe particulière, la courbe brachistochrone.

Un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme, qui ne glisse sans aucun frottement sur cette courbe, et sans vitesse initiale, présente un temps de parcours minimal parmi toutes les courbes joignant un point A à un point B.

 

Pour être plus précis, on appelera la courbe "cycloïde". C'est la courbe de descente la plus rapide d'un point A à un point B.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dans le cadre de la réalisation de notre rampe, cette cycloïde va nous permettre d'étudier et d'obtenir la forme et la trajectoire idéale pour notre rampe. 

 

Pour cela, nous avons procédé de la manière suivante, après avoir fait quelques recherches sur la possible équation de la cycloïde, nous sommes parvenus à obtenir les équations de x et de y.

 

x=R(u + sinu) 

y=-R(1 + cosu)

 

Ici, on se place dans un repère, où x désigne l’abscisse et y désigne l’ordonnée.
R désigne la hauteur de la rampe (dans le cas de la cycloïde R correspond au rayon du cercle décrit).
U désigne une variable comprise dans l'intervalle [-π  ; 0].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Avec l'aide des différentes formules énoncées ainsi que des mesures propres à notre rampe, nous avons donc tracer la caractéristique de la trajectoire que doit avoir notre rampe. En abscisse, les valeurs de x=R(u + sinu) et en ordonnée, les valeurs de y=-R(1 + cosu).

 

Avec la caractéristique de la courbe, nous pourrons alors construire notre propre rampe afin d'avoir une trajectoire parfaitement adaptée et un rendement idéal.

 

La hauteur de la rampe est de 107 cm, d'après cette valeur nous avons réalisé cette courbe sur Excel voici le résultat :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Grâce à cette représentation nous avons réussi à la modéliser sur SolidWorks.